文章目录
解析函数的等价定义解析函数的性质
解析函数的等价定义
解析函数的定义：
f
(
z
)
f(z)
f(z)在区域内可导则在区域内解析，在一点解析就是在某一邻域内可导。解析函数不可能只在一点解析。柯西-黎曼方程：函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域
D
D
D内解析的充要条件是：
u
,
v
u,v
u,v在
D
D
D内可微，并且满足柯西-黎曼方程
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
,
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
\cfrac{\partial u}{\partial x}=\cfrac{\partial v}{\partial y},\cfrac{\partial u}{\partial y}=-\cfrac{\partial v}{\partial x}
∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v。此时
f
(
z
)
f(z)
f(z)在点
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy的导数为
f
′
(
z
)
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
=
1
i
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
y
f'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}=\cfrac{1}{i}\cfrac{\partial u}{\partial y}+\cfrac{\partial v}{\partial y}
f′(z)=∂x∂u+i∂x∂v=i1∂y∂u+∂y∂v。
记忆方法： 平行的相等，交叉的是相反数。 导数公式的理解：对于
f
(
z
)
=
u
+
i
v
f(z)=u+iv
f(z)=u+iv，
d
f
(
z
)
d
z
=
∂
f
(
z
)
∂
x
∂
x
∂
z
\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}
dzdf(z)=∂x∂f(z)∂z∂x，其中
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy，故
∂
z
∂
x
=
1
\frac{\partial z}{\partial x}=1
∂x∂z=1，
∂
x
∂
z
=
1
\frac{\partial x}{\partial z}=1
∂z∂x=1，而
∂
f
(
z
)
∂
x
=
u
x
+
i
v
y
\frac{\partial f(z)}{\partial x}=u_x+iv_y
∂x∂f(z)=ux+ivy，由此得出
d
f
(
z
)
d
z
=
u
x
+
i
v
x
\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=u_x+iv_x
dzdf(z)=ux+ivx。又
d
f
(
z
)
d
z
=
∂
f
(
z
)
∂
x
∂
y
∂
z
\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial z}
dzdf(z)=∂x∂f(z)∂z∂y，其中
∂
y
∂
z
=
1
∂
z
∂
y
=
1
i
\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{1}{i}
∂z∂y=∂y∂z1=i1，故
d
f
(
z
)
d
z
=
1
i
(
u
y
+
i
v
y
)
=
1
i
u
y
+
v
y
\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{i}(u_y+iv_y)=\frac{1}{i}u_y+v_y
dzdf(z)=i1(uy+ivy)=i1uy+vy。 初等函数的解析性： (1) 指数函数：
e
z
=
e
x
+
i
y
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)
ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)，满足
∣
e
z
∣
=
e
x
|e^z|=e^x
∣ez∣=ex，
Arg
e
z
=
y
+
2
k
π
\operatorname{Arg} e^z=y+2k\pi
Argez=y+2kπ，并且
e
z
≠
0
e^z\ne 0
ez=0。它是以
2
k
π
i
2k\pi i
2kπi为周期的周期函数。指数函数在复平面内处处解析，其导数就是它本身。 (2) 对数函数：
Ln
z
=
ln
∣
z
∣
+
i
Arg
z
\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i\operatorname{Arg}z
Lnz=ln∣z∣+iArgz，为多值函数，其任两个值的差为
2
k
π
i
2k\pi i
2kπi。
Ln
z
\operatorname{Ln} z
Lnz的主值记为
ln
z
\ln z
lnz，定义为
Arg
z
\operatorname{Arg}z
Argz取主值
arg
z
\arg z
argz时的值（注意
arg
z
∈
(
−
π
,
π
]
\arg z\in(-\pi,\pi]
argz∈(−π,π]），即
ln
z
=
ln
∣
z
∣
+
i
arg
z
\ln z=\ln|z|+i\arg z
lnz=ln∣z∣+iargz。因此，
Ln
e
x
+
i
y
=
x
+
i
(
y
+
2
k
π
)
\operatorname{Ln} e^{x+iy}=x+i(y+2k\pi)
Lnex+iy=x+i(y+2kπ)，
ln
e
x
+
i
y
=
x
+
i
(
y
+
2
m
π
)
\ln e^{x+iy}=x+i(y+2m\pi)
lnex+iy=x+i(y+2mπ)，其中
m
m
m是一个合适的整数使得
y
+
2
m
π
∈
(
−
π
,
π
]
y+2m\pi\in(-\pi,\pi]
y+2mπ∈(−π,π]。
Ln
z
\operatorname{Ln} z
Lnz的各个分支在除去原点与负实轴外的复平面内处处连续、处处解析，并且
(
Ln
z
)
′
=
1
z
(\operatorname{Ln} z)'=\frac{1}{z}
(Lnz)′=z1。这个导数是通过反函数的求导公式得到的。 (3) 幂函数：
z
b
=
e
b
Ln
z
z^b=e^{b\operatorname{Ln} z}
zb=ebLnz。当
b
b
b为整数时是单值的；当
b
b
b为有理数
p
q
\frac{p}{q}
qp（
p
,
q
p,q
p,q为互质整数，
q
>
0
q>0
q>0）时有
q
q
q个值；当
b
b
b为无理数时有无穷多个值。判断的方法为考虑
e
2
k
π
i
b
e^{2k\pi ib}
e2kπib的周期性。
z
b
z^b
zb的各个分支在除原点和负实轴的复平面内解析，且
(
z
b
)
′
=
b
z
b
−
1
(z^b)'=bz^{b-1}
(zb)′=bzb−1；特别地，当
b
b
b是整数时，
z
b
z^b
zb是单值函数，在整个复平面内解析。 (4) 三角函数：
cos
z
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
cosz=2eiz+e−iz，
sin
z
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
sinz=2ieiz−e−iz（分子上
e
i
z
e^{iz}
eiz一定在前头）。它们都是以
2
π
2\pi
2π为周期的周期函数，奇偶性、三角恒等式和实变函数相同。它们都在整个复平面内解析，导函数也与实变函数相同。
e
i
z
=
cos
z
+
i
sin
z
e^{iz}=\cos z+i\sin z
eiz=cosz+isinz成立。它们的零点都在实轴上。双曲正弦、双曲余弦函数的定义就是在正弦、余弦的定义中把
i
i
i全删掉。 (5) 反三角函数：称方程
z
=
cos
w
z=\cos w
z=cosw的所有根
w
w
w为
z
z
z的复变反余弦函数，记作
w
=
Arccos
z
w=\operatorname{Arccos} z
w=Arccosz。解方程得到
Arccos
z
=
−
i
Ln
(
z
+
z
2
−
1
)
\operatorname{Arccos} z=-i\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})
Arccosz=−iLn(z+z2−1
)，
Arcsin
z
=
−
i
Ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
\operatorname{Arcsin} z=-i\operatorname{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2})
Arcsinz=−iLn(iz+1−z2
)，其中
⋯
\sqrt{\cdots}
⋯
是双值函数。
沿闭曲线的积分：函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在单连通域
B
B
B内解析的充要条件是
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
B
B
B内连续，并且对
B
B
B内任一闭曲线都有
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0
∮Cf(z)dz=0
这个可以用格林公式来理解。令
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy，
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则
d
z
=
d
x
+
i
d
y
\mathrm{d}z=\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y
dz=dx+idy，
f
(
z
)
d
z
=
(
u
+
i
v
)
(
d
x
+
i
d
y
)
=
(
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
(
v
d
x
+
u
d
y
)
f(z)\mathrm{d}z=(u+iv)(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)=(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)
f(z)dz=(u+iv)(dx+idy)=(udx−vdy)+i(vdx+udy)，
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
(
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
∮
C
(
v
d
x
+
u
d
y
)
\oint_C f(z)\mathrm{d}z=\oint_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i\oint_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)
∮Cf(z)dz=∮C(udx−vdy)+i∮C(vdx+udy)要让这两个第一型线积分都为
0
0
0，回想一下格林公式：
∮
C
P
d
x
+
Q
d
y
=
∬
(
σ
)
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
σ
\oint_CP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma
∮CPdx+Qdy=(σ)∬(∂x∂Q−∂y∂P)dσ只需使每个曲线积分的
∂
Q
∂
x
=
∂
P
∂
y
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
∂x∂Q=∂y∂P处处成立即可。对
∮
C
(
u
d
x
−
v
d
y
)
\oint_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)
∮C(udx−vdy)，我们有
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
∂y∂u=−∂x∂v；对
∮
C
(
v
d
x
+
u
d
y
)
\oint_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)
∮C(vdx+udy)，我们有
∂
v
∂
y
=
∂
u
∂
x
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
∂y∂v=∂x∂u。这就是柯西-黎曼方程。
幂级数：函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在区域
D
D
D内解析的充要条件为
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
D
D
D内任一点
z
0
z_0
z0的邻域内可以展开成幂级数
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
z
0
)
n
\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n{(z-z_0)}^n
n=0∑∞cn(z−z0)n。能展开成幂级数是解析函数的本质属性，是实变函数所没有的。
解析函数的性质
基本性质：
若函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在一点解析，则一定在这一点连续（因为可导必连续）。若
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
z
0
z_0
z0不解析，则称
z
0
z_0
z0为
f
(
z
)
f(z)
f(z)的奇点。在区域
D
D
D内两解析函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)与
g
(
z
)
g(z)
g(z)的和、差、积、商（出去分母为
0
0
0的点）在
D
D
D内解析。设函数
h
=
g
(
z
)
h=g(z)
h=g(z)在
z
z
z平面上的区域
D
D
D内解析，
w
=
f
(
h
)
w=f(h)
w=f(h)在
h
h
h平面上的区域
G
G
G内解析，且
g
(
z
)
g(z)
g(z)的值域
R
(
g
)
⊆
G
R(g)\subseteq G
R(g)⊆G，则复合函数
w
=
f
[
g
(
z
)
]
w=f[g(z)]
w=f[g(z)]在
D
D
D内解析。 柯西-古萨基本定理：如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在简单闭曲线
C
C
C上以及由它围成的区域
D
D
D内处处解析，那么
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
\oint_C f(z)\mathrm{d}z=0
∮Cf(z)dz=0
复合闭路定理：设
C
C
C为多连通域
D
D
D内的一条简单闭曲线，
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
C_1,C_2,\cdots,C_n
C1,C2,⋯,Cn是在
C
C
C内部的
n
n
n条简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以它们为边界的
n
n
n个区域全含于
D
D
D。如果
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
D
D
D内解析，那么：
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∑
k
=
1
n
∮
C
k
f
(
z
)
d
z
\oint_C f(z)\mathrm{d}z=\sum\limits_{k=1}^n\oint_{C_k} f(z)\mathrm{d}z
∮Cf(z)dz=k=1∑n∮Ckf(z)dz
∮
Γ
f
(
z
)
d
z
=
0
\oint_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=0
∮Γf(z)dz=0其中
Γ
\Gamma
Γ是由
C
C
C及各
C
k
C_k
Ck的负向所组成的复合闭路，即
Γ
=
C
+
C
1
−
+
C
2
−
+
⋯
+
C
n
−
\Gamma=C+C_1^-+C_2^-+\cdots+C_n^-
Γ=C+C1−+C2−+⋯+Cn−。
意思就是，围绕很多奇点的闭路积分，等于围绕每个奇点的闭路积分之和。有很多奇点时分开算即可。
闭路变形原理：在给定区域内的一个解析函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)不解析的点。
应用：围绕一个奇点进行积分，不管路径多么稀奇古怪，总可以化为一个小的环路。
原函数：设
f
(
z
)
f(z)
f(z)在区域
D
D
D内连续，如果函数
φ
(
z
)
\varphi(z)
φ(z)在区域
D
D
D内的导数等于
f
(
z
)
f(z)
f(z)（即
φ
′
(
z
)
=
f
(
z
)
\varphi'(z)=f(z)
φ′(z)=f(z)），则称
φ
(
z
)
\varphi(z)
φ(z)为
f
(
z
)
f(z)
f(z)在区域
D
D
D内的一个元函数。因为解析函数一定连续，所以如果
f
(
z
)
f(z)
f(z)在单连通域
B
B
B内解析，则
F
(
z
)
=
∫
z
0
z
f
(
ζ
)
d
ζ
F(z)=\int_{z_0}^z f(\zeta)\mathrm{d}\zeta
F(z)=∫z0zf(ζ)dζ是
f
(
z
)
f(z)
f(z)在单连通域
B
B
B内的一个原函数。
柯西积分公式：如果
f
(
z
)
f(z)
f(z)在区域
D
D
D内处处解析，
C
C
C为
D
D
D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全包含于
D
D
D，
z
0
z_0
z0为
C
C
C内部的任一点，那么
f
(
z
0
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z
f(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z)dz
从留数的角度看，设
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
z
=
z
0
z=z_0
z=z0处的洛朗展开式为
f
(
z
)
=
⋯
+
c
−
1
(
z
−
z
0
)
−
1
+
f
(
z
0
)
+
c
1
(
z
−
z
0
)
+
⋯
f(z)=\cdots+c_{-1}{(z-z_0)}^{-1}+f(z_0)+c_1(z-z_0)+\cdots
f(z)=⋯+c−1(z−z0)−1+f(z0)+c1(z−z0)+⋯，则
f
(
z
)
z
−
z
0
=
⋯
+
c
−
1
(
z
−
z
0
)
−
2
+
f
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
−
1
+
c
1
+
⋯
\frac{f(z)}{z-z_0}=\cdots+c_{-1}{(z-z_0)}^{-2}+f(z_0){(z-z_0)}^{-1}+c_1+\cdots
z−z0f(z)=⋯+c−1(z−z0)−2+f(z0)(z−z0)−1+c1+⋯，于是得出
Res
(
f
(
z
)
z
−
z
0
,
z
0
)
=
f
(
z
0
)
\operatorname{Res}\left(\frac{f(z)}{z-z_0},z_0\right)=f(z_0)
Res(z−z0f(z),z0)=f(z0)，这样就可以得出柯西积分公式了。虽然这样有点循环论证的味道
解析函数的无限可导性：解析函数的导数也是解析函数，因而解析函数的任意阶导数都是解析函数。
高阶导数公式：
f
(
n
)
(
z
0
)
=
n
!
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
+
1
d
z
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z
f(n)(z0)=2πin!∮C(z−z0)n+1f(z)dz
注意不要忘了
n
n
n的阶乘！！！高阶导数公式有阶乘，泰勒级数有阶乘，用导数计算留数也有阶乘。 也不要忘了分母是
n
+
1
n+1
n+1次方，而不是
n
n
n次方！！！
柯西不等式：设函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在区域
D
D
D内解析，
z
0
∈
D
z_0\in D
z0∈D，则
∣
f
(
n
)
(
z
0
)
∣
≤
n
!
⋅
max
∣
z
−
z
0
∣
=
R
∣
f
(
z
)
∣
R
n
|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!\cdot\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^n}
∣f(n)(z0)∣≤Rnn!⋅∣z−z0∣=Rmax∣f(z)∣这个定理刻画了一点的
n
n
n阶导数与围绕它的环域上
f
(
z
)
f(z)
f(z)绝对值的最大值的关系。
证明：
∣
f
(
n
)
(
z
0
)
∣
=
∣
n
!
2
π
i
∮
∣
z
−
z
0
∣
=
R
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
+
1
d
z
∣
≤
n
!
2
π
∮
∣
z
−
z
0
∣
=
R
∣
f
(
z
)
∣
∣
z
−
z
0
∣
n
+
1
d
s
≤
n
!
2
π
∮
∣
z
−
z
0
∣
=
R
max
∣
z
−
z
0
∣
=
R
∣
f
(
z
)
∣
R
n
+
1
d
s
=
n
!
2
π
max
∣
z
−
z
0
∣
=
R
∣
f
(
z
)
∣
R
n
+
1
⋅
2
π
R
=
n
!
⋅
max
∣
z
−
z
0
∣
=
R
∣
f
(
z
)
∣
R
n
|f^{(n)}(z_0)|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{|f(z)|}{{|z-z_0|}^{n+1}}\mathrm{d}s\\ \le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^{n+1}}\mathrm{d}s=\frac{n!}{2\pi}\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R=\frac{n!\cdot\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^n}
∣f(n)(z0)∣=
2πin!∮∣z−z0∣=R(z−z0)n+1f(z)dz
≤2πn!∮∣z−z0∣=R∣z−z0∣n+1∣f(z)∣ds≤2πn!∮∣z−z0∣=RRn+1∣z−z0∣=Rmax∣f(z)∣ds=2πn!Rn+1∣z−z0∣=Rmax∣f(z)∣⋅2πR=Rnn!⋅∣z−z0∣=Rmax∣f(z)∣
刘维尔定理：设
f
(
z
)
f(z)
f(z)在整个复平面上解析且有界，则
f
(
z
)
f(z)
f(z)为常数。
证明：设在整个复平面上
∣
f
(
z
)
∣
≤
M
|f(z)|\le M
∣f(z)∣≤M，其中
M
M
M是上界。则由柯西不等式知，
∀
z
0
∈
C
\forall z_0\in\mathbb{C}
∀z0∈C，
R
>
0
R>0
R>0，有
∣
f
′
(
z
0
)
∣
≤
max
∣
z
−
z
0
∣
=
R
∣
f
(
z
)
∣
R
≤
M
R
|f'(z_0)|\le\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R}\le\frac{M}{R}
∣f′(z0)∣≤R∣z−z0∣=Rmax∣f(z)∣≤RM令
R
→
∞
R\to\infty
R→∞，即知
∣
f
′
(
z
0
)
∣
|f'(z_0)|
∣f′(z0)∣小于任意正数，因而
∣
f
′
(
z
0
)
∣
=
0
|f'(z_0)|=0
∣f′(z0)∣=0，
f
′
(
z
0
)
=
0
f'(z_0)=0
f′(z0)=0。于是可得
f
′
(
z
)
≡
0
f'(z)\equiv 0
f′(z)≡0，即
f
(
z
)
f(z)
f(z)恒为常数。
调和函数（必要但不充分条件）：区域
D
D
D内的解析函数的实部和虚部都是
D
D
D内的调和函数。其逆命题不一定成立。
也就是说，设
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域
D
D
D内解析，则
∀
(
x
,
y
)
∈
D
\forall (x,y)\in D
∀(x,y)∈D，
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
=
0
∂
2
v
∂
x
2
+
∂
2
v
∂
y
2
=
0
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\\ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0
∂x2∂2u+∂y2∂2u=0∂x2∂2v+∂y2∂2v=0这可以从柯西-黎曼方程推得。
洛朗级数：设
f
(
z
)
f(z)
f(z)在圆环域
R
1
<
∣
z
−
z
0
∣
<
R
2
R_1<|z-z_0| R1<∣z−z0∣ R 1 R_1 R1和 R 2 R_2 R2常根据奇点确定），则在此圆环域内 f ( z ) f(z) f(z)必能唯一地展开成双边幂级数 f ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n ( z − z 0 ) n f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n{(z-z_0)}^n f(z)=n=−∞∑+∞cn(z−z0)n其中 c n = 1 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z\quad(n=0,\pm1,\pm2,\cdots) cn=2πi1∮C(z−z0)n+1f(z)dz(n=0,±1,±2,⋯) C C C为该圆环域内绕 z 0 z_0 z0的任一正向简单闭曲线。若 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0的某邻域内解析，则洛朗级数没有负幂项。 留数：若 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0处解析，则 Res [ f ( z ) , z 0 ] = 0 \operatorname{Res}[f(z),z_0]=0 Res[f(z),z0]=0。